czwartek, 22 lutego 2018

Funkcja liniowa

⇝⇝⇝  POST W BUDOWIE. WERSJA BARDZO ROBOCZA.  ⇜⇜⇜

Funkcja liniowa

Wykresem funkcji liniowej jest prosta.
Postać ogólna tej funkcji to y=ax+b gdzie:

  • x i y to współrzędne każdego punktu, który leży na tej prostej, np. punkt P (x,y)
  • a to współczynnik kierunkowy, odpowiada za to, w którą stronę biegnie funkcja, jak bardzo nachylona jest do poziomu,
  • b to wartość na osi OY, gdzie wykres funkcji tę oś OY przecina,
    wykres funkcji przecina oś OY w punkcie B (0,b) 
A jak określić, w jakim punkcie wykres funkcji przecina oś OX?
Ten punkt to tak zwane MIEJSCE ZEROWE.
Miejsce zerowe to punkt, w którym wykres funkcji przecina oś OX, na przykład punkt A (x,0), a my musimy podać jaka jest wartość tego x.

Jak to zrobić?
Punkt A (x,0) jak każdy punkt ma dwie współrzędne: x oraz y.
Widać, że współrzędna y punktu A wynosi 0. Widać? A(x,y) A(x,0) czyli y=0.
I to właśnie jest klucz do naszych jeszcze zamkniętych drzwi.

Zapewne w zadaniu będzie podany wzór funkcji. Weźmy y=2x+3 .
Żeby policzyć miejsce zerowe, należy wstawić 0 w miejsce y, o tak:
0=2x+3
a następnie rozprawić się z tym tworem, który powstał, a który nazywa się równaniem, nawet równaniem liniowym, albo równaniem pierwszego stopnia, w dodatku z jedną niewiadomą ;) .

Trochę zmienię zapis tego równania:
2x+3=0
Że powinny być znaki zmienione, bo przenoszę na drugą stronę? Mogłabym, ale koniec końców i tak wyjdzie na moje. Dlaczego? A widzieliście kiedyś wagę w równowadze? Jeśli na jednej szalce stoi wiadro z kilogramem ziemniaków, a na drugiej kilogramowy odważnik, a ja zamienię je miejscami, to coś się zmieni? Równowaga zostaje zaburzona? Nie. Na zasadzie analogii to samo dotyczy tego, co znajduje się po obu stronach znaku równości.

No ale dla niedowiarków przeprowadzę to porządnie, ze zmianą znaków:
0=2x+3
-2x-3=0  |mnożę obydwie strony przez -1
2x+3=0
Jest? Jest.

Rozwiązujemy równanie:
2x+3=0
Przenoszę 3 na drugą stronę równania, pamiętam o zmianie znaku na przeciwny.
2x=-3
Chcę pozbyć się dwójki przy x. Dwójkę i x łączy działanie będące mnożeniem. Działaniem przeciwnym do mnożenia jest dzielenie, zatem podzielę obydwie strony równania przez 2.
x=-3/2

Wyliczyłam tajemnicze miejsce zerowe naszej funkcji. Tym miejscem zerowym jest -3/2.
Oznacza to, że na osi OX istnieje punkt A (choć może się nazywać B, C, D, G czy Z, byle była to wielka litera alfabetu) i ma on współrzędne x=-3/2, y=0 i przez ten punkt będzie przechodzić wykres mojej funkcji.
Zatem wykres mojej funkcji y=2x+3 przecina:

  • oś OX w punkcie A (-3/2,0)
  • oś OY w punkcie B (0,3)

Widać
Wartości każdej funkcji odczytujemy na osi Y.

Argumenty każdej funkcji odczytujemy na osi X.

Wartość funkcji dla danego argumentu, to y dla jakiegoś x. Tworzą punkt należący do prostej.

Zadanie.
Oblicz wartość funkcji y=2x+1 dla argumentu równego 3.

Argument czyli x.
x=3


wtorek, 16 stycznia 2018

środa, 22 marca 2017

Liczby ujemne - dodawanie i odejmowanie liczb całkowitych

Liczby ujemne nastręczają uczniom na różnych poziomach rozmaitych trudności. Począwszy od ich sumowania i odejmowania, przez mnożenie i dzielenie, po bardziej skomplikowane przekształcenia.

Na wstępie proponuję sobie przyjąć, że każda liczba nosi swój znak ze sobą, a konkretnie przed sobą. Zauważmy, że wtedy odejmowanie można sprowadzić do sumowania :) .

-3 -4 = -3 + (-4) 
  
Jak sobie w głowie zobrazować dodawanie i odejmowanie liczb, w tym ujemnych?
Dobrze działa wyobrażenie sobie słupka rtęci na zewnętrznym termometrze. Zimą temperatury często spadają poniżej zera. Jaki będzie wynik takiego działania:

-3 -4 = ?
Prezenter pogodowy przemawia:
"Drodzy państwo, do teraz zimę mieliśmy łagodną, na zewnątrz był mały przymrozek, bo jedynie -3 stopnie Celsjusza. Od jutra jednak trzeba będzie ubrać się cieplej, bo temperatura obniży się o dalsze 4 stopnie." 

Umiemy sobie wyobrazić ile będzie stopni na zewnątrz?
Jeśli temperatura jeszcze spadnie, to znaczy, że będzie jeszcze zimniej niż było. Zaczynamy od -3, jeśli spadnie o 1 stopień, to mamy -4, jeśli spadnie o jeszcze 1 stopień to mamy -5, o kolejny 1 stopień, mamy -6 i o ostatni 1 stopień, mamy -7.

-3 -4 = -7

No dobrze, a teraz takie działanie:

3 -4 = ?

Prezenter pogodowy przemawia:
"Drodzy państwo, już mieliśmy nadzieję, że zima odpuściła i czeka nas już tylko ciepła wiosna, bo na zewnątrz są aż 3 stopnie. Nie cieszmy się przedwcześnie. Jutro temperatura spadnie o 4 stopnie."

I jak Wasze przewidywania co do temperatury jutro?
Były 3 stopnie Celsjusza. Spada o 1 stopień, jest 2, spada znów o 1 stopień, jest 1, spada o jeszcze 1 stopień, jest 0, spada o kolejny 1 stopień, jest -1.

3 -4= -1  

Tak naprawdę z tym przypadkiem można sobie jeszcze trochę inaczej poradzić. Liczbę -4 przedstawię jako sumę liczb -3 oraz -1, dlatego, że teraz 3 oraz -3 wyzerują się. Rozpiszę to:

3 -4 = 3 -3 -1 = 0 -1 = -1

Jeszcze jakiś przykład:

-7 +9 = ?

 Prezenter pogodowy przemawia:
"Drodzy państwo, zimy mamy już dość. Dziś na zewnątrz było mroźnie, bo - 7 stopni Celsjusza. Na szczęście nadchodzi ocieplenie. Temperatura podniesie się aż o 9 stopni! Miejmy nadzieję, że mrozy już nie wrócą, a przed nami jedynie coraz cieplejsze dni."

Co obstawiacie?
Było -7 stopni. Jeśli temperatura wzroście o 7 stopni, to jesteśmy na 0. Ale ona wzrasta o 9, czyli 7 i jeszcze 2. Oznacza to, że kreska termometru zatrzyma się na liczbie 2 ponad 0.

-7 +9 = 2

Oczywiście termometr to nie jedyny sposób, w jaki można pobudzić wyobraźnię do pracy nad liczbami ujemnymi. Innym sposobem jest wyobrażenie sobie liczby ujemnej jako dług, który mamy spłacić.

-20 +15 = ?

 Jestem dłużna Adamowi 20 zł. Mam w kieszeni, 15 zł, oddam mu tyle ile mam, resztę innym razem.
Ile oddam innym razem? Mam oddać 20, oddałam 15, muszę oddać jeszcze 5. Można powiedzieć, że mój dług wynosi teraz 5 zł, a skoro dług, to jest to liczba ujemna. 

-20 +15 = -5

Uzupełniając jeszcze zdanie z początku posta, że liczba nosi swój znak przed sobą, warto wiedzieć, że jeśli przed liczbą nie jest napisany ani minus, ani plus, to znaczy, że liczba nosi znak plus, jedynie się tym nie chwali. 

5 +6 = 11
+5 +6 = +11 

O dodawaniu i odejmowaniu liczb z ułamkami oraz o innych działaniach na liczbach ujemnych napiszę w następnych postach.

poniedziałek, 20 marca 2017

Kolejność wykonywania działań

Zaczniemy od czegoś, wydaje się, oczywistego. Ile wynosi wynik działania:

2+2*2 = ?

Jeśli nie znasz reguł matematyki rządzących tym przypadkiem, to odpowiesz 8. Jeśli znasz, odpowiesz 6. :) Jak było?

Reguły, według których należy postępować w tym i w innych przypadkach określa 

kolejność wykonywania działań

Najpierw działania w nawiasach,
dalej potęgi i pierwiastki,
następnie mnożenie i dzielenie,
na koniec dodawanie i odejmowanie.

Spróbuj zastosować powyższe reguły i wpisz w komentarzu swój wynik w następującym przypadku:

5+5:5+5*5+5 = ?


poniedziałek, 2 stycznia 2017

Witaj

Dzień dobry!
Zamierzam pokazać Wam, że matematykę da się zrozumieć. Może nawet niektórym uda się ją polubić. Najczęściej zadawane przez moich Uczniów pytanie to: "Do czego mi się to przyda?"
To - czyli wszelkie równania, funkcje, logarytmy, ciągi i inne matematyczne stworzenia. Zastanawiałam się nad jakąś rozsądną odpowiedzią. Jeśli nie planujesz kariery związanej z matematyką, to przyda Ci się to z całą pewnością do zaliczenia sprawdzianów na ocenę pozytywną, no a później przyda się przy okazji, póki co obowiązkowej, matury z matematyki. Tylko że taka odpowiedź nie brzmi zachęcająco. Trzeba i koniec. Czym matematyka jest dla mnie? Chyba tym, czym książka. Kiedy czasem dość mam rozmaitych problemów świata, zanurzam się w lekturze, jakbym wchodziła do innej rzeczywistości. Czymś takim jest też dla mnie matematyka. Ma swój zestaw reguł gry. Poznaj te reguły, a poznasz język, w którym zaklęte są różne zagadki. Czary mary i krok po kroku idziesz w kierunku rozwikłania postawionego przed Tobą problemu. I rozumiesz każdy swój krok, i wiesz, jaki wykonać następny, cała droga nagle staje się jasna i przejrzysta. Wiecie, jak w "Indiana Jones i ostatnia krucjata". ;)





Dał radę? Ty też dasz. ;)
Zapraszam na nasz FB Fanpage!
Do sklikania!